Het eind van de lijn

Toen ik vorige week een uurtje even niks te doen had, begon ik met mijn potlood wat op het geruite kladpapier dat voor me lag te tekenen. Misschien herken je het patroon en de regel die eraan ten grondslag ligt wel; uiteindelijk zag mijn tekening er als volgt uit:

Patroon 01

De baan van de lijn die ik met potlood getekend heb vertrekt vanuit de linker bovenhoek van het vlak met ruitjes en gaat onder een hoek van 45° met de roosterlijnen richting rechtsonder. Bij de rand van het ruitjesvlak gedraagt de baan zich zoals een lichtstraal die een spiegel bereikt of een biljartbal die de rand van de tafel raakt: de hoek van inval is gelijk aan de hoek van uitval.Mijn gekrabbel ging zo een tijdje door. Op een bepaald moment begon ik mij natuurlijk af te vragen waar mijn lijn ooit uit zou komen, áls er ooit al een eind aan zou komen. Die vraag was eenvoudig te beantwoorden. Uiteraard kon de lijn niet oneindig lang worden, want ik had op dat moment niet de beschikking over roosterpapier met oneindig veel snijpunten van (horizontale) roosterlijnen. Waar zou de lijn dan moeten stoppen? Ook dat was te voorspellen: in een hoekpunt. Want een lijn die niet in een hoekpunt terecht komt, "kaatst" weer verder. Was er dan ook nog iets te zeggen over welk van de vier hoekpunten het eindpunt zou zijn? Het beginpunt in elk geval niet, dat lag voor de hand. Maar welk van de drie overige hoekpunten dan wel in aanmerking zou komen, daar kon ik in het begin, toen de lijn nog niet zo lang was als je hierboven op de afbeelding kan zien, nog niets over zeggen. Pas later viel me op dat de tekening spiegelsymmetrisch is, met een verticale symmetrieas. Het eindpunt moet dus rechts boven liggen.

Er begon mij ook iets op te vallen over de posities waar de lijn telkens de rand van het vlak bereikte. Laat ik die punten maar eens kaatspunten noemen. Als je let op de plekken waar de kaatspunten op de linker rand van het vlak terecht komen, dan is dat achtereenvolgens (vanaf de bovenkant geteld) na 14, 28 en 42 hokjes. De eerste drie kaatspunten liggen dus even ver van elkaar. Omdat er in verticale richting slechts 47 hokjes zijn, ligt het vierde kaatspunt niet meer 14 hokjes van het derde verwijderd, maar 4 hokjes boven het derde, op positie 38. Vanaf 42 moet je blijkbaar eerst doortellen tot 47 (dat zijn er 5) en wat er dan nog van 14 over is (9), ga je weer terug. Zo kom je dus op 38 uit. Dat lijkt wel wat op modulo rekenen, maar dan vergelijkbaar met een klok die, als het eenmaal 12 uur is geworden, niet weer bij 0 begint maar achteruit gaat lopen! Dit soort modulo rekenen ken ik niet. Maar er vast wel ooit iemand geweest die daar iets zinnigs wiskundigs over heeft geschreven. Ik denk namelijk niet dat ik opeens een compleet nieuw deelgebied in de getaltheorie heb ontdekt! Hoe dan ook: dat "doorlopen tot het einde en dan weer omdraaien totdat je in totaal 14 hokjes hebt gehad" leek me wel logisch. Al kon ik er niet echt een duidelijke verklaring voor formuleren.

Daarnaast vroeg ik me ook af wat het getal 14 hier zo bijzonder maakt. In horizontale richting liggen de opeenvolgende kaatspunten namelijk ook 14 hokjes van elkaar. Je voelt al aan dat dit met de afmetingen van het rooster (40 horizontaal - 47 verticaal) te maken heeft. Je moet het het dubbele verschil 2 · (47 - 40) van de afmetingen berekenen om op 14 uit te komen. Intuïtief kan ik wel aanvoelen dat dit klopt, maar een echt duidelijke verklaring is wat lastiger en laat ik aan de lezer over. ("Is toch logisch, dat zie je zo." reken ik niet goed.)

Hoe langer je over dit patroon nadenkt, hoe meer vragen het oproept. Bijvoorbeeld: op welke manier kun je alle eigenschappen van de volledige afbeelding (wanneer de baan zijn eindpunt heeft bereikt) uit slechts de twee getallen 40 en 47 afleiden. Met "eigenschappen" bedoel ik dan zaken als:

  • Of het uiteindelijke figuur een horizontale en verticale symmetrieas heeft, als die er al is,
  • de totale lengte van de lijn,
  • de uiteindelijke kortste afstaand tussen de kaatspunten,
  • verzin het maar...

Wat je ook kunt doen, is de "regels van het spel" aanpassen. Je hoeft de lijn natuurlijk niet in een hoekpunt te laten beginnen. In elk ander punt (en met andere afmetingen dan 40 bij 47) is het zelfs mogelijk om de lijn wél weer bij zijn beginpunt te laten uitkomen. Mijn vermoeden is dat dit te maken heeft met al dan niet relatief priem zijn van de afmetingen van het rooster. En om nog een stap verder te gaan: aan de hoek van 45° kan ook nog  gesleuteld worden.

Ik verwacht dat iemand (waarschijnlijk een getaltheoreticus) al lang antwoord op deze vragen heeft gegeven. En zo niet: dan zou het toch gaaf zijn als iemand naar aanleiding van bovenstaand stukje zich daarmee bezig zou gaan houden.

Share Button

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

Deze website gebruikt Akismet om spam te verminderen. Bekijk hoe je reactie-gegevens worden verwerkt.